Definição da função módulo

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> A função módulo é uma função real $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ dada por

$$ f(x)=\vert x \vert = \left\{\begin{array}{rll} x & \hbox{se} & x \geq 0 \\ -x & \hbox{se} & x<0 \end{array}\right. $$

</aside>

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo

Vamos a determinar a imagem de alguns números através da função módulo:

• $|5|=5$
• $|-21| = 21$
• $|1-\pi|=\pi -1$, porque $1-\pi<0$. </aside>

Propriedades da função módulo

A função módulo $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, $f(x)=|x|$, satisfaz a seguintes propriedades:

1. A imagem da função $f$ são os números positivos incluido o zero, ou seja, $[0,\infty)$ esse conjunto também é denotado como $\mathbb{R}_0^+$.
2. $f$ é crescente em $[0, \infty)$ e decrescente em $(-\infty, 0]$.
3. Para todo $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=f(-x)$ ($f$ é um função par)

Gráfico da função módulo

Arrastre o ponto A

Arrastre o ponto A

Propriedades do módulo

1. $|x| \geq 0$, $\forall$ $x \in\mathbb{R}$
2. $|x|=|-x|$
3. $|x|=|y|$ se, e somente se, $x=y$ ou $x=-y$
4. $|x|<a$ se, e somente se, $-a<x<a$
5. $|x|\leq a$ se, e somente se, $-a\leq x \leq a$
6. $|x|>a$ se, e somente se , $x>a$ ou $x <-a$
7. $|x|\geq a$ se, e somente se , $x \geq a$ ou $x \leq -a$
8. $|xy|=|x||y|$
9. $|x+y| \leq |x| + |y|$ (desigualdade triangular)