1. Propriedades da Potenciação

Seja $a$ um número real positivo. Para todo $n\in\mathbb{N}$, a potência $a^n$, de base $a$ e expoente $n$, é definida como o produto de $n$ fatores iguais a $a$.

Para quaisquer $a\in \mathbb{R}^{\ast}$ e $m,n\in \mathbb{N}$ tem-se

• $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$.
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$.
• $a>1$ e $m < n \quad \Rightarrow \quad a^m < a^n$.
• $0 < a < 1$ e $m < n \quad \Rightarrow \quad a^m > a^n$.
• Para todo número racional $r=\frac{m}{n}$, com $n>0$, temos $a^r=\sqrt[n]{a^m}$.

Exemplos baseados nas propriedades acima:

• $3^2\cdot 3^3=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 3^5$.
• $2^4 = 16 < 128 = 2^7$.
• $0.9^2 = 0.81 > 0.729 = 0.9^3$.
• $7^{-3}=\frac{1}{7^3}=\frac{1}{343}$.
• $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4\cdot 4\cdot 4} = 4$.

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exercício: Sem usar calculadora, explique qual dos números a seguir é maior: $55\cdot 3600^5$ ou $\left(\frac{1}{60}\right)^{-11}$?

• Solução: </aside>

2. A Função Exponencial

Vimos acima que a potenciação está definida para todo expoente racional. Agora estendemos o conceito para expoentes reais.

2.1 Definição.

Definição de Exponenciação