Dizemos que uma função $f: A \rightarrow B$ é inversível se existe uma função $g:B\rightarrow A$ tal que

$$ f(x)=y \Leftrightarrow g(y)=x

$$

para todo $x\in A$ e $y\in B$.

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo

Consideremos a função $f: A \rightarrow B$ dada por:

Então, a função inversa $g: B \rightarrow A$ de $f$, está dada da seguinte forma

Observemos que $f(7)=-1$, portanto $g(-1)=7$, ou seja $g(f(7))=7$, observe também que $f(g(-1))= -1$. Podemos dizer que a função $g$ reverte o que foi feito pela função $f$. De forma geral para todo elemento $x$ no domínio de $f$ temos que:

$$ g(f(x))=x \text{ e } f(g(x))= x. $$

</aside>

Definição função inversa

<aside> <img src="/icons/target_gray.svg" alt="/icons/target_gray.svg" width="40px" /> Dadas duas funções $f: A\rightarrow B$ e $g: B\rightarrow A$ dizemos que $g$ é a inversa de $f$ se e somente se, $g\circ f=id_A$ e , $f\circ g=id_B$. Se $f$ é uma função que admite inversa então dizemos que $f$ é uma função inversível.

</aside>

Lembremos que a função $id_A$ é a função identidade em $A$, ou seja,

$$ \begin{array}{cccc}id_A:&A&\longrightarrow & A\\ &x& \longmapsto & x \end{array} $$

<aside> 💡 Observe que se $f$ for uma função inversível, com inversa $g$, então $g$ também será inversível, e sua inversa será $f$.

</aside>

<aside> 💡 A função inversa de $f$ é denotada como $f^{-1}$

</aside>

<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade

1. Dadas as seguintes funções $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x-7$ e $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{x+7}{2}$, verifique que uma é a inversa da outra.
   • $\leftarrow$ Click para ver a solução
2. Dadas as seguintes funções $f:\mathbb{R}-\{5\}\rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{3x+2}{5-x}$ e $g:\mathbb{R}-\{-3\} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\dfrac{5x-2}{3+x}$, verifique que uma é a inversa da outra.
   • $\leftarrow$ Click para ver a solução </aside>

Condição para uma função ser inversível

<aside> <img src="/icons/target_gray.svg" alt="/icons/target_gray.svg" width="40px" /> Uma função é inversível se e somente se ela é bijetora.

</aside>

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo

A função $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}_0$, $g(x)=x^2$ não é injetora porque cada elemento do contradomínio é imagem de dois elementos do domínio, veja por exemplo $g(2)=4$ e $g(-2)=4$, por tanto $g$ não tem inversa.

</aside>

Observação

<aside> 💡 Tem funções que não são inversíveis, mas se restringimos o seu domínio obtemos uma nova função que tem inversa.

</aside>

A função anterior $g$ não é inversível, mas se definimos uma nova função $h: \mathbb{R}_0^+\rightarrow \mathbb{R}_0^+$, $h(x)=x^2$ , temos que $h$ é uma função injetora.

Como $h$ também é sobrejetora, então $h$ é inversível.

Determinemos a inversa da função $h$:

$h(x)=x^2 \Leftrightarrow y= x^2 \Leftrightarrow \sqrt{y} = x$

Então, a função inversa de $h(x)=x^2$, $x\geq 0$ é a função $h^{-1}(x)=\sqrt{x}$, $x\geq 0$.

Gráfico da inversa de uma função