Definição função injetora

<aside> <img src="/icons/target_lightgray.svg" alt="/icons/target_lightgray.svg" width="40px" /> Uma função é injetora, se todo elemento no contradomínio tiver no máximo uma correspondência com um elemento do domínio. Em outras palavras, uma função $f:A\rightarrow B$ é injetora se e somente se$f(x_1)=f(x_2)$ implica que $x_1=x_2$.

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Observemos a seguinte função $f$:

Na função $f$ tem dois elementos diferentes do domínio que estão relacionados com o mesmo elemento no contradomínio: **

$$ f(1)= 0 \text{ e } f(0)=0. $$

Identificar uma função injetora através de seu gráfico

Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal encontra o seu gráfico mais do que uma vez.

<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade

Determine se as seguintes funções são injetoras

https://www.geogebra.org/m/vukmuewf

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Definição função sobrejetora

<aside> <img src="/icons/target_gray.svg" alt="/icons/target_gray.svg" width="40px" /> Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio tiver pelo menos uma correspondência com um elemento do domínio. Ou seja, uma função $f: A \rightarrow B$ é sobrejetora se e somente se, para todo $y \in B$, existe pelo menos um $x \in A$ tal que $f(x) = y$.

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Em outras palavras, uma função $f$ é sobrejetora se o contradomínio de $f$ coincide com sua imagem. Ou seja:

$$ f:A\rightarrow B \text{ é sobrejetora } \text{se e somente se } B= Im(f) $$

Consideremos a seguinte função $h$,

Podemos observar que os elementos $13$ e $5$ em $B$ não estão relacionados com nenhum elemento em $A$. Desta forma, a função $h$ não é sobrejetora.

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo

1. A função

$$ \begin{array}{cccc}f:&\mathbb{R}&\longrightarrow & \mathbb{R}\\ &x& \longmapsto & |x| \end{array} $$

Observe que a imagem da função são os número reais positivos, mas o contradomínio é são todos os números reais. Como o contradomínio e $Im(f)$ são diferentes então a função não é sobrejetora.

1. Consideremos a função

$$ \begin{array}{cccc}g:&\mathbb{R}&\longrightarrow & \mathbb{R}\\ &x& \longmapsto & 2x+1 \end{array} $$

Se $y$ é um número no contradomínio de $g$. Vejamos que existe um $x$, tal que $g(x)=y$

$$ \begin{array}{crcc}&g(x)& = & y\\ &2x+1& = & y\\ &x& = & \dfrac{y-1}{2} \end{array} $$

desta forma temos que $g(\frac{y-1}{2})= y$ , por tanto $g$ é sobrejetora.

1. Considere a função $h: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, dada por $h(x)=3^ x$. Observe que $3^x$ é sempre maior que zero, por tanto o contradomínio de $h$ é diferente da $Im(h)$, sendo assim a função $h$ não é sobrejetora. </aside>

Observação