Função Quadrática

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Um função $f: \cal{A} \longrightarrow \cal{B}$ é dita quadrática se $f$ é da forma

$$ f(x)=ax^2+bx+c, $$

com $a,b,c \in\mathbb{R}$ e $a\neq 0$, para todo $x\in \cal{A}$ .

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<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo 6

$f(x)=x^2-2x+1$, onde $a=1, b=-2$ e $c=1.$
$f(x) =\frac{x^2}{2}$, onde $a=1/2, b=0$ e $c=0$. </aside>

<aside> 💡 Dada uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, o discriminante de $f$ é o número$f$$\Delta = b^2-4ac$.

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Zeros ou Raízes de uma Função Quadrática

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Os zeros ou raízes de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$, são os valores de $x$ tais que $f(x)=0$ e, portanto, são as soluções da equação $ax^2+bx+c=0$. Assim, os zeros de $f$ são as abscissas dos pontos de interseção do gráfico de $f$ com o eixo $OX$.

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Proposição

<aside> <img src="/icons/square-one-fourth_yellow.svg" alt="/icons/square-one-fourth_yellow.svg" width="40px" /> O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

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Observe que, com $a\neq 0$, vale que

$$ a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2- \frac{\Delta}{4a^2}\right]=ax^2+bx+c=f(x) \qquad (*) $$

Então, na igualdade acima, quando $x=\frac{-b}{2a}$, temos $f(x)=-\frac{\Delta}{4a}$, ou seja, o ponto

$V=\left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)$ pertence ao gráfico da função e é conhecido como vértice de $f$.

Além disso, segue de (*) que:

Se $\mathbf{a>0}$, como $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\geq 0$, $f(x)$ vai assumir o menor valor possível quando $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=0$, isto é, quando $x=\frac{-b}{2a}$ e, consequentemente, $f(x)=-\frac{\Delta}{4a}$. Assim, $V$ é dito ponto de mínimo da função. Consequentemente a parábola terá concavidade voltada para cima. Por exemplo: