Como sabemos, uma função possui inversa apenas se ela for bijetora, mas isso não ocorre com nenhuma das funções trigonométricas estudadas. Por este motivo, para que a inversa de uma função trigonométrica exista devemos restringir seu domínio (e eventualmente seu contradomínio) a um subconjunto menor de modo que nesta restrição a função seja bijetora.
Por exemplo, a função seno não é bijetora se considerarmos o domínio como $\mathbb{R}$, mas se restringirmos o domínio apenas ao intervalo $\left[{\footnotesize -} \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ (ou a qualquer intervalo da forma ${ \footnotesize \left[{\footnotesize -} \frac{\pi}{2}+k \pi,\frac{\pi}{2}+ k \pi\right] }$), aí sim ela é bijetora.
Para ver isso, lembre que para uma função ser injetora se e somente se seu gráfico satisfaz a seguinte propriedade:
Toda reta horizontal que corta o eixo $Oy$ num valor da imagem também corta o gráfico da função em, no máximo, um ponto.
Considerando a restrição acima a função seno possui uma inversa que chamamos de arcosseno e seu valor em $x\in [-1,1]$ é denotado por ${\rm arcsen}(x)$ ou ${\rm sen^{-1}}(x)$.
Assim como a função seno, as demais funções trigonométricas também são periódicas e para cada uma delas existem vários intervalos onde a restrição se torna bijetora e portanto possui uma inversa.
Na tabela abaixo apresentamos para as demais funções trigonométricas as restrições que consideramos serem as mais usuais.
<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> A primeira coluna da tabela indica o domínio (restringido) e a imagem da função trigonométrica considerada e as demais colunas referem-se a respectiva função inversa.
| Função Restringida | Nome da Inversa | Símbolo | Domínio e Imagem |
|---|---|---|---|
| $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \stackrel{\rm sen}{\to} [-1,1]$ | Arcosseno | $\rm arcsen$ ou $\rm sen^{-1}$ | $[-1,1]\stackrel{ \rm sen^{-1} }{\to} \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ |
| $\left[0, \pi\right] \stackrel{\cos}{\to} [-1,1]$ | Arcocosseno | $\arccos$ ou $\cos^{-1}$ | $[-1,1]\stackrel{\cos^{-1} }{\to}\left[0, \pi\right]$ |
| $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\stackrel{\tan}{\to} \mathbb{R}$ | Arcotangente | $\arctan$ ou $\tan^{-1}$ | $\mathbb{R}\stackrel{\tan^{-1} }{\to} \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ |
| $\left(0, \pi\right) \stackrel{\rm cotan}{\to} \mathbb{R}$ | Arcocotangente | $\rm arccot$ ou $\rm cotan^{-1}$ | $\mathbb{R}\stackrel{\rm cotan^{-1} }{\to} \left(0, \pi\right)$ |
| $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \stackrel{\sec}{\to} [1,+\infty)$ | Arcosecante | $\rm arcsec$ ou $\sec^{-1}$ | $[1,+\infty)\stackrel{\sec^{-1} }{\to} \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$ |
| $(0, \frac{\pi}{2}] \stackrel{\cosec}{\to} [1,+\infty)$ | Arcocossecante | $\rm arccosec$ ou $\cosec^{-1}$ | $[1,+\infty)\stackrel{\cosec^{-1} }{\to} (0, \frac{\pi}{2}]$ |
| </aside> |
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$$ {\rm sen }^2\: \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ $$
Dividindo a identidade fundamental acima por $\cos \alpha$ e por ${\rm sen} \, \alpha$ obtemos respectivamente
$\sec^2 \alpha -\tan^2 \alpha = 1$
$\cosec^2 \alpha -{\rm cotan}^2\:\alpha = 1$
${\rm sen}(\alpha \pm \beta)={\rm sen}(\alpha)\cos(\beta)\pm{\rm sen}(\beta)\cos(\alpha)$
$\cos(\alpha\pm \beta)={\rm cos}(\alpha)\cos(\beta)\mp {\rm sen}(\beta){\rm sen}(\alpha)$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1\mp\tan(\alpha)\tan(\beta)}$
${\rm cotan}(\alpha \pm \beta) = \dfrac{{\rm cotan}(\alpha){\rm cotan}(\beta)\mp 1}{{\rm cotan}(\alpha) \pm {\rm cotan}(\beta)}$
<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Exercício.
Prove que
$$
⁍
$$
Use as fórmulas acima para calcular ${\rm sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ e $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$. </aside>