As funções trigonométricas são funções especiais nas quais os valores do domínio ou contradomínio podem ser interpretados como ângulos. São elas as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante, cossecante e suas inversas.

Tais funções têm inúmeras aplicações no nosso dia a dia. Elas estão relacionadas, com fenômenos tão diversos como o movimento dos planetas, a incidência dos raios solares, a frequência das marés e até os batimentos cardíacos, dentre outros muitos assuntos.

Por outro lado, a conceito de ângulo pode ser introduzido como a medida da abertura entre duas semirretas com origem no mesmo ponto. Seguindo a tradição convencionamos que a medida dos ângulos é crescente no sentido anti-horário e decrescente no sentido horário. As unidades de medida mais comuns são graus e radianos, neste livro usaremos preferencialmente radianos. Se fixarmos uma destas semirretas e girarmos a outra mantendo sua origem fixa poderemos obter qualquer número real como o valor do ângulo correspondente. Mais concretamente, um ângulo maior que $2\pi$ corresponde à um giro de “mais de uma volta”, e valores negativos correspondem a giros no sentido horário.

Começaremos introduzindo os conceitos de seno e de cosseno, primeiramente para ângulos estritamente entre 0 e $\frac{\pi}{2}$ radianos e posteriormente generalizando para todos os ângulos. As demais funções trigonométricas serão então obtidas a partir destas.

Seno e cosseno de um ângulo $\alpha\in (0,\frac{\pi}{2})$ radianos

Neste caso, introduziremos o conceito de seno e cosseno a partir de relações em um triângulo retângulo.

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Dado um ângulo $\alpha\in (0, \frac{\pi}{2})$ radianos, tome um triângulo retângulo qualquer que tenha $\alpha$ como um de seus ângulos agudos.

$$ \begin{array}{l} h=\text{hipotenusa}\\ca=\text{cateto adjacente}\\ co=\text{cateto oposto}. \end{array} $$

O seno e o cosseno de $\alpha$ são então definidos respectivamente como:

$$ {\rm sen}(\alpha)=\frac{co}{h}\quad \text{e} \quad \cos (\alpha)=\frac{ca}{h} $$

</aside>

<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade.

No triângulo retângulo abaixo, mova o ponto laranja para alterar o ângulo e mova o ponto vermelho para alterar o tamanho da hipotenusa.

https://www.geogebra.org/m/awjujg76

Com a ajuda da figura iterativa acima responda:

• Se mudarmos o tamanho de da hipotenusa sem mudar o ângulo, o que ocorre com os valores de seno e de cosseno? Você sabe explicar o motivo deste fenômeno?
  • $\leftarrow$ Clique no triângulo para ver a resposta.
• Note que, independentemente do ângulo, os valores do seno e do cosseno sempre estão no intervalo [0,1]. Você sabe explicar por que isso ocorre?
  • $\leftarrow$ Clique no triângulo para ver a resposta.

</aside>

Como vimos na atividade acima, o seno e o cosseno dependem apenas do ângulo $\alpha$ e não do tamanho do triângulo retângulo usado para defini-los. Em particular, sempre podemos usar triângulos que tenham hipotenusa igual a 1.

Esta propriedade será usada a seguir para estendermos a definição de seno e cosseno para todos os possíveis ângulos.

Seno e cosseno de um ângulo qualquer.

Para definir os valores de seno e cosseno para qualquer valor de um ângulo $\alpha$ procedemos da seguinte forma.

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Dado $\alpha \in \R$, considere a semirreta com origem em $O=(0,0)$ que forma o ângulo $\alpha$ com o semi-eixo positivo $Ox$ e seja $P$=(c,s) o ponto de interseção desta semirreta com o círculo de centro $O$ e raio $1$ (ver figura abaixo). Definimos o seno e o cosseno de $\alpha$ através das coordenadas de $P$ pondo

$$ c=\cos \alpha \quad \text{e} \quad s={\rm sen \, } \alpha. $$

</aside>

<aside> 💡 Observe que desta forma, em particular, obtemos uma descrição dos pontos (parametrização) do círculo unitário com centro n a origem $\mathcal{C}$ como

$$ \mathcal{C}=\{(\cos (t),{\rm sen} (t)):\ t\in[0,2\pi)\}. $$

</aside>

Pratique a definição na figura iterativa abaixo.

<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade.

Mova o controle deslizante para alterar o ângulo $\alpha$ e observe os valores correspondentes do seno e do cosseno.

https://www.geogebra.org/m/npphabh5

• Note que o triângulo retângulo da figura tem sempre hipotenusa igual a $1$.
• Usando o triângulo retângulo que aparece na figura convença-se de que para ângulos
  $\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})$ radianos os valores de seno e cosseno da nova definição coincidem com os valores obtidos pela definição da seção anterior.
• Verifique os valores do seno e do cosseno de qualquer ângulo estão sempre no intervalo $[-1,1].$
• A lista abaixo apresenta alguns valores das funções seno e cosseno. Use a figura iterativa para confirmar os valores aproximadamente.

$$ \begin{align*}{\rm sen}(0) &= 0 & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{6}) & = \tfrac{1}{2} & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{4}) & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.71\\ {\rm sen}(\tfrac{\pi}{3}) &= \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 \ & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{2}) &=1 & {\rm sen}(\pi) &= 0\\ \\ \cos(0) &= 1 & \cos(\tfrac{\pi}{6}) & = \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 \ & \cos(\tfrac{\pi}{4}) & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.71\\ \cos(\tfrac{\pi}{3}) &=\tfrac{1}{2} & \cos(\tfrac{\pi}{2}) &=0 & \cos(\pi) &= -1 \end{align*} $$

</aside>