As funções trigonométricas são funções especiais nas quais os valores do domínio ou contradomínio podem ser interpretados como ângulos. São elas as funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante, cossecante e suas inversas.
Tais funções têm inúmeras aplicações no nosso dia a dia. Elas estão relacionadas, com fenômenos tão diversos como o movimento dos planetas, a incidência dos raios solares, a frequência das marés e até os batimentos cardíacos, dentre outros muitos assuntos.
Por outro lado, a conceito de ângulo pode ser introduzido como a medida da abertura entre duas semirretas com origem no mesmo ponto. Seguindo a tradição convencionamos que a medida dos ângulos é crescente no sentido anti-horário e decrescente no sentido horário. As unidades de medida mais comuns são graus e radianos, neste livro usaremos preferencialmente radianos. Se fixarmos uma destas semirretas e girarmos a outra mantendo sua origem fixa poderemos obter qualquer número real como o valor do ângulo correspondente. Mais concretamente, um ângulo maior que $2\pi$ corresponde à um giro de “mais de uma volta”, e valores negativos correspondem a giros no sentido horário.
Começaremos introduzindo os conceitos de seno e de cosseno, primeiramente para ângulos estritamente entre 0 e $\frac{\pi}{2}$ radianos e posteriormente generalizando para todos os ângulos. As demais funções trigonométricas serão então obtidas a partir destas.
Neste caso, introduziremos o conceito de seno e cosseno a partir de relações em um triângulo retângulo.
<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Dado um ângulo $\alpha\in (0, \frac{\pi}{2})$ radianos, tome um triângulo retângulo qualquer que tenha $\alpha$ como um de seus ângulos agudos.
$$ \begin{array}{l} h=\text{hipotenusa}\\ca=\text{cateto adjacente}\\ co=\text{cateto oposto}. \end{array} $$
O seno e o cosseno de $\alpha$ são então definidos respectivamente como:
$$ {\rm sen}(\alpha)=\frac{co}{h}\quad \text{e} \quad \cos (\alpha)=\frac{ca}{h} $$
</aside>
<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade.
No triângulo retângulo abaixo, mova o ponto laranja para alterar o ângulo e mova o ponto vermelho para alterar o tamanho da hipotenusa.
https://www.geogebra.org/m/awjujg76
Com a ajuda da figura iterativa acima responda:
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Como vimos na atividade acima, o seno e o cosseno dependem apenas do ângulo $\alpha$ e não do tamanho do triângulo retângulo usado para defini-los. Em particular, sempre podemos usar triângulos que tenham hipotenusa igual a 1.
Esta propriedade será usada a seguir para estendermos a definição de seno e cosseno para todos os possíveis ângulos.
Para definir os valores de seno e cosseno para qualquer valor de um ângulo $\alpha$ procedemos da seguinte forma.
<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Dado $\alpha \in \R$, considere a semirreta com origem em $O=(0,0)$ que forma o ângulo $\alpha$ com o semi-eixo positivo $Ox$ e seja $P$=(c,s) o ponto de interseção desta semirreta com o círculo de centro $O$ e raio $1$ (ver figura abaixo). Definimos o seno e o cosseno de $\alpha$ através das coordenadas de $P$ pondo
$$ c=\cos \alpha \quad \text{e} \quad s={\rm sen \, } \alpha. $$
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<aside> 💡 Observe que desta forma, em particular, obtemos uma descrição dos pontos (parametrização) do círculo unitário com centro n a origem $\mathcal{C}$ como
$$ \mathcal{C}=\{(\cos (t),{\rm sen} (t)):\ t\in[0,2\pi)\}. $$
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Pratique a definição na figura iterativa abaixo.
<aside> <img src="/icons/checkmark-square_brown.svg" alt="/icons/checkmark-square_brown.svg" width="40px" /> Atividade.
Mova o controle deslizante para alterar o ângulo $\alpha$ e observe os valores correspondentes do seno e do cosseno.
https://www.geogebra.org/m/npphabh5
$$ \begin{align*}{\rm sen}(0) &= 0 & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{6}) & = \tfrac{1}{2} & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{4}) & =\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\ {\rm sen}(\tfrac{\pi}{3}) &= \tfrac{\sqrt{3}}{2} & {\rm sen}(\tfrac{\pi}{2}) &=1 & {\rm sen}(\pi) &= 0\\ \\ \cos(0) &= 1 & \cos(\tfrac{\pi}{6}) & = \tfrac{\sqrt{3}}{2} & \cos(\tfrac{\pi}{4}) & =\tfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos(\tfrac{\pi}{3}) &=\tfrac{1}{2} & \cos(\tfrac{\pi}{2}) &=0 & \cos(\pi) &= -1 \\ \\ &\tfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.71 & \tfrac{\sqrt{3}}{2} &\approx 0.87 \end{align*} $$
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