Primeiros conceitos

Em nosso cotidiano é comum relacionarmos certos objetos a outros. Por exemplo, a cada pessoa está associado um nome; a cada estudante de uma universidade podemos associá-lo ao número de disciplinas em que ele está inscrito em um dado período; em um supermercado, cada mercadoria está relacionada a seu preço. Em matemática todas estas associações fazem parte de um tipo especial de relação chamado de função, que estudaremos a seguir.

Definição de Função

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Dados dois conjuntos não vazios $\cal{A}$ e $\cal{B}$, uma função de $\cal{A}$ em $\cal{B}$ é uma correspondência $f$, denotada por $f: \cal{A} \to \cal{B}$, que associa a cada $x\in \cal{A}$ um único elemento $f(x) \in \cal{B}$. Neste caso, o conjunto $\cal{A}$ é chamado de domínio de $f$ e é denotado por $D(f)$ e o conjunto $\cal{B}$ é chamado de contradomínio de $f$ . O subconjunto de $\cal{B}$ formado pelos elementos da forma $f(x)$ é chamado de imagem de $f$ e é denotado por $Im(f)$.

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Podemos imaginar uma função $f:\cal{A}\to \cal{B}$ como sendo uma “máquina” que transforma elementos de $\cal{A}$ em elementos de $\cal{B}$.

<aside> 💡 Importante: Salientamos que uma função sempre tem de três componentes:

• Um conjunto de partida: o domínio;
• Um conjunto de chegada: o contradomínio;
• A lei de associação: a regra usada para transformar $x$ em $f(x)$.

Além disso,

• Cada $x \in \cal{A}$ (não sobra ninguém em $\cal{A}$) é transformado em exatamente um elemento $f(x) \in \cal{B}$.

Todos os itens acima devem ser satisfeitos para que $f$ seja uma função!

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Por outro lado,

• podem sobrar elementos em $\cal{B}$, ou seja, a imagem $Im(f)$ não precisa ser todo contradomínio;
• mais de um elemento de $\cal{A}$ pode ser transformado no mesmo elemento de $\cal{B}$.

<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo 1

Abaixo estão representadas três correspondências $f, g$ e $h$ entre os conjuntos $\cal{A}$ e $\cal{B}$.

A relação $f$ é uma função, mas as relações $g$ e $h$ não são funções! Por quê?

• $\leftarrow$ Clique no triângulo para ver a resposta! </aside>

<aside> 💡 Cuidado! Quando duas funções têm a mesma lei de formação elas só serão iguais se elas também tiverem domínio e contradomínio iguais.

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<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo 2

As funções

$$ g: \N \to \Z, \ g(n)= 2n \quad \text{e} \quad h:\Z \to \Z, \ h(n)= 2n $$

são diferentes. Embora ambas tenham a mesma lei de formação, o domínio da primeira é $D(g)= \N$ e o domínio da segunda é $D(h)= \Z$.

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Na literatura as funções também podem ser chamadas por outros nomes, como: aplicações, transformações, ou ainda, mapas.

Funções Reais a Uma Variável

Definição de Função Real a Uma Variável Real

<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Chamamos de função real a uma variável real, a qualquer função $f: \cal{A} \to \cal{B}$, com $\cal{A}, \cal{B} \subseteq \R$ . Em outras palavras, as funções reais a uma variável real são aquelas cujos domínio e contradomínio são subconjuntos de $\R$ , podendo ser o próprio conjunto $\R$.

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<aside> 💡 Ao longo do texto, usaremos apenas a expressão função real para facilitar a escrita!

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