<aside> <img src="/icons/cd_lightgray.svg" alt="/icons/cd_lightgray.svg" width="40px" /> Sejam $f:A\to B$ e $g:C\to D$ funções, com $Im(f)\subset C$. Chama-se função composta de $g$ com $f$ a função $h:=g\circ f:A\to D$ em que a imagem de cada $x$ é obtida pelo seguinte procedimento:
<aside> 💡 Notação: $h(x)=g(f(x))$ para todo $x\in A$ ou $h=g\circ f$.
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<aside> 💡 Observação: Em alguns casos, para ser possível compor $g$ com $f$, será necessário restringir o domínio da $f$ para para que $Im(f)\subset D(g)$.
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<aside> <img src="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" alt="/icons/hexagon-five-sixths_lightgray.svg" width="40px" /> Exemplo:
Para cada item abaixo, determine os domínios (os maiores possíveis) de $g$ e $f$, para que seja possível compor $f\circ g$ e $g\circ f$, respectivamente, e encontre as leis dessas composições.
(a) $f(x) = x^2-1$; $g(x)=\dfrac{1}{x-1}$.
(b) $f(x) = x^2$; $g(x)=\sqrt{1-x^2}$.
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Sejam $f:A\to B$, $g:C\to D$ e $h:E\to F$ funções, tais que $Im(f)\subset D(g)$ e $Im(g\circ f)\subset D(h)$. Então vale a igualdade:
$$ ⁍. $$
Se $f:A\to B$ e $g:B\to C$ são funções sobrejetoras, então a função composta $g\circ f : A\to C$ também é sobrejetora.
<aside> 💡 Para valer esta propriedade, é necessário que o contra-domínio de $f$ seja igual ao domínio de $g$. Caso contrário, a composta pode não ser sobrejetora. Por exemplo: $f:\mathbb{R}\to\{0\}$, com $f(x)=0$, e $g:\{0,1\}\to\{0,1\}$, com $g(0)=0$ e $g(1)=1$, teremos
$$ \begin{array}{ccc}g\circ f:&\mathbb{R}&\to &\{0,1\}\\&x&\to &0\end{array} $$
não sobrejetora, pois $Im(g\\circ f)=\\{0\\}$ $\\subsetneq$ $\\{0,1\\}$.
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